Question

【题目】如图：四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且AC=BD，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1， ，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）证明：当点E在边BC上移动时，总有EF⊥AF；
（2）当CE等于何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°．

Answer 1

【答案】
（1）证明：分别以AD、AB、AP所在直线为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系

则可得P（0，0，1），B（0，1，0），F（0， ， ），D（ ，0，0），

设BE=x，则E（x，1，0），∴ =（x，1，﹣1）

得 =x0+1× +（﹣1）× =0

∴ ⊥ ，

∴当点E在边BC上移动时，总有EF⊥AF

（2）解： =（ ，0，﹣1），设平面PDE的一个法向量为 =（p，q，1），

则 ，得 =（ ，1﹣ ，1），

∵PA与平面PDE所成角的大小为45°， =（0，0，1），

∴sin45°= = ，得 = ，

解得x= 或x ，

∵BE=x ，

∴BE= ，即当CE等于 时，PA与平面PDE所成角的大小为45°．

【解析】（1）分别以AD、AB、AP所在直线为x、y、z轴，建立如图空间直角坐标系，利用向量法能证明当点E在边BC上移动时，总有EF⊥AF．（2）求出平面PDE的一个法向量，由此利用向量法能求出CE= 时，PA与平面PDE所成角的大小为45°．
【考点精析】认真审题，首先需要了解空间中直线与直线之间的位置关系(相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点)，还要掌握空间角的异面直线所成的角(已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则)的相关知识才是答题的关键．