Question

【题目】已知椭圆 的右焦点到直线 的距离为 ，离心率 ，A，B是椭圆上的两动点，动点P满足 ，（其中λ为常数）．
（1）求椭圆标准方程；
（2）当λ=1且直线AB与OP斜率均存在时，求|kAB|+|kOP|的最小值；
（3）若G是线段AB的中点，且kOAkOB=kOGkAB ， 问是否存在常数λ和平面内两定点M，N，使得动点P满足PM+PN=18，若存在，求出λ的值和定点M，N；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题设可知： ，解得 ，b=2．

∴椭圆标准方程为

（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）则由 ，得P（x1+x2，y1+y2）．

∴ ．

由|kAB|∈（0，+∞）得， ，

当且仅当 时取等号

（3）解：∵ = ．

∴ ．∴4x1x2+9y1y2=0．

设P（x，y），则由 ，

得（x，y）=（x1，y1）+λ（x2，y2）=（x1+λx2，y1+λy2），

即x=x1+λx2，y=y1+λy2．

∵点A、B在椭圆4x2+9y2=36上，

∴4x2+9y2=36+36λ2+2λ（4x1x2+9y1y2）．

∴4x2+9y2=36+36λ2．

即 ，

∴P点是椭圆 上的点，

设该椭圆的左、右焦点为M、N，

则由椭圆的定义PM+PN=18，得18= ，

∴ ， ， ．

∴存在常数λ= ，和平面内两定点M（ ，0），N（ ，0），使得动点P满足PM+PN=18

【解析】（1）由已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得椭圆标准方程；（2）设出A，B的坐标，把λ=1代入 ，求得P的坐标，求出AB、OP的斜率并作积，结合绝对值的不等式求解|kAB|+|kOP|的最小值；（3）设P（x，y），则由 ，得x=x1+λx2 ， y=y1+λy2 ． 再由点A、B在椭圆4x2+9y2=36上，得到 ，说明P点是椭圆 上的点，设该椭圆的左、右焦点为M、N，则由椭圆的定义PM+PN=18，得18= ，由此求得λ值．