Question

（满分13分）
如图，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．

(1)求证：DM∥平面APC；
(2)求证：平面ABC⊥平面APC；

Answer 1

（1）要证DM∥平面APC，只需证明MD∥AP（因为AP?面APC）即可．
（2）在平面ABC内直线AP⊥BC，BC⊥AC，即可证明BC⊥面APC，从而证得平面ABC⊥平面APC；

试题分析：解：(1)由已知得，MD是△ABP的中位线   ∴MD∥AP
∵MD?面APC，AP?面APC
∴MD∥面APC
(2)∵△PMB为正三角形，D为PB的中点，
∴MD⊥PB，∴AP⊥PB  又∵AP⊥PC，PB∩PC＝P ∴AP⊥面PBC
∵BC?面PBC ∴AP⊥BC  又∵BC⊥AC，AC∩AP＝A
∴BC⊥面APC  ∵BC?面ABC  ∴平面ABC⊥平面APC
点评：解决的关键是利用线面和面面的平行和垂直的判定定理来分析证明，属于基础题。