Question

（附加题）已知定义在[-1，1]上的奇函数f（x），在x∈（0，1]时，f（x）=．
（1）当x∈[-1，1]时，求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=-2^x•f（x）（-1＜x＜0），求函数y=g（x）的值域；
（3）若关于x的不等式λf（x）＜1在x∈（0，1]上有解，求实数λ的取值范围．

Answer 1

解：（1）当x∈[-1，0）时，-x∈（0，1]．
∵f（x）是奇函数，x∈（0，1]时，f（x）=，
∴f（x）=-f（-x）=-=-
∵f（0）=f（-0）=-f（0），∴f（0）=0，
∴在区间[-1，1]上，有f（x）=；
（2）-1＜x＜0时，g（x）=2^x•==1-，
∵-1＜x＜0，∴
∴，∴
∴函数y=g（x）的值域为[]；
（3）关于x的不等式λf（x）＜1在x∈（0，1]上有解，等价于λ•＜1在x∈（0，1]上有解
即λ＜在x∈（0，1]上有解
令h（x）=，则h′（x）=
∵x∈（0，1]，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1]上单调递增
∴2＜h（x）≤
∵λ＜在x∈（0，1]上有解
∴λ＜．
分析：（1）定义在R上的奇函数f（x），可得f（0）=0，结合x∈（-1，0）时，f（x）的解析式，函数的奇偶性可得结论；
（2）求出函数g（x）的解析式，写成部分分式的形式，即可求函数y=g（x）的值域；
（3）关于x的不等式λf（x）＜1在x∈（0，1]上有解，等价于λ•＜1在x∈（0，1]上有解，即λ＜在x∈（0，1]上有解，确定右边对应函数的值域，即可得到结论．
点评：本题考查利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式，考查函数的值域，考查不等式有解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．