Question

（附加题）已知定义在[-1，1]上的奇函数f（x），在x∈（0，1]时，f（x）=

2x

4x+1

．
（1）当x∈[-1，1]时，求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=-2^x•f（x）（-1＜x＜0），求函数y=g（x）的值域；
（3）若关于x的不等式λf（x）＜1在x∈（0，1]上有解，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）定义在R上的奇函数f（x），可得f（0）=0，结合x∈（-1，0）时，f（x）的解析式，函数的奇偶性可得结论；
（2）求出函数g（x）的解析式，写成部分分式的形式，即可求函数y=g（x）的值域；
（3）关于x的不等式λf（x）＜1在x∈（0，1]上有解，等价于λ•

2x

4x+1

＜1在x∈（0，1]上有解，即λ＜

4x+1

2x

在x∈（0，1]上有解，确定右边对应函数的值域，即可得到结论．

解答：解：（1）当x∈[-1，0）时，-x∈（0，1]．
∵f（x）是奇函数，x∈（0，1]时，f（x）=

2x

4x+1

，
∴f（x）=-f（-x）=-

2-x

4-x+1

=-

2x

4x+1

∵f（0）=f（-0）=-f（0），∴f（0）=0，
∴在区间[-1，1]上，有f（x）=

- 2x 4x+1 ，x∈[-1，0) 0，x=0 2x 4x+1 ，x∈(0，1]

；
（2）-1＜x＜0时，g（x）=2^x•

2x

4x+1

=

4x

4x+1

=1-

1

4x+1

，
∵-1＜x＜0，∴

5

4

＜4x+1＜2
∴

1

2

＜

1

4x+1

＜

4

5

，∴

1

5

＜g(x)＜

1

2

∴函数y=g（x）的值域为[

1

5

，

1

2

]；
（3）关于x的不等式λf（x）＜1在x∈（0，1]上有解，等价于λ•

2x

4x+1

＜1在x∈（0，1]上有解
即λ＜

4x+1

2x

在x∈（0，1]上有解
令h（x）=

4x+1

2x

，则h′（x）=

2xln2(4x-1)

22x

∵x∈（0，1]，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1]上单调递增
∴2＜h（x）≤

5

2

∵λ＜

4x+1

2x

在x∈（0，1]上有解
∴λ＜

5

2

．

点评：本题考查利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式，考查函数的值域，考查不等式有解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．