【题目】若对于曲线上任意点处的切线,总存在上处的切线,使得,则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】f(x)=﹣ex﹣x的导数为f′(x)=﹣ex﹣1,
设(x1,y1)为f(x)上的任一点,
则过(x1,y1)处的切线l1的斜率为k1=﹣ex1﹣1,
g(x)=2ax+sinx的导数为g′(x)=2a+cosx,
过g(x)图象上一点(x2,y2)处的切线l2的斜率为k2=2a+cosx2.
由l1⊥l2,可得(﹣ex1﹣1)(2a+cosx2)=﹣1,
即2a+cosx2=,
任意的x1∈R,总存在x2∈R使等式成立.
则有y1=2a+cosx2的值域为A=[2a﹣1,2a+1].
y2=的值域为B=(0,1),
有BA,即(0,1)[2a﹣1,2a+1].
即,
解得0≤a≤.
故答案为:[0, ].
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【题目】已知在平面直角坐标系中,直线l过点P(1,2).
(1)若直线l在x轴和y轴上的截距相等,求直线l的方程;
(2)求坐标原点O到直线l距离取最大值时的直线l的方程;
(3)设直线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别相交于A,B两点,当|PA||PB|最小时,求直线l的方程.
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【题目】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC和△AA1C均是边长为2的等边三角形,点O为AC中点,平面AA1C1C⊥平面ABC.
(1)证明:A1O⊥平面ABC;
(2)求直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值.
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【题目】设,是两条不同的直线,,,是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若,,则
②若,,,则
③若,,则
④若,,则
其中正确命题的序号是( )
A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④
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【题目】在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以平面直角坐标系的原点为极点,正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线和曲线的直角坐标方程,并指明曲线的形状;
(2)设直线与曲线交于两点, 为坐标原点,且,求.
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【题目】如图,已知多面体ABC﹣A1B1C1中,AA1,BB1,CC1均垂直于平面ABC,AB⊥AC,AA1=4,CC1=1,AB=AC=BB1=2.
(Ⅰ)求证:A1C⊥平面ABC1;
(Ⅱ)求二面角B﹣A1B1﹣C1的余弦值.
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