Question

18．若函数y=f（x）的值域是[-1，3]，试求函数F（x）=[f（x）]²+f（x）的值域．

Answer 1

分析 换元后可得原式=（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，t∈[-1，3]，由二次函数区间的最值可得．

解答 解：令f（x）=t，则t∈[-1，3]，
∴F（x）=[f（x）]²+f（x）=t²+t=（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
由二次函数可知（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$在t∈[-1，-$\frac{1}{2}$]单调递减，在t∈[-$\frac{1}{2}$，3]单调递增，
∴当t=3时，（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$取最大值12，当t=-$\frac{1}{2}$时，（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$取最小值-$\frac{1}{4}$，
∴函数F（x）=[f（x）]²+f（x）的值域为[$-\frac{1}{4}$，12]

点评 本题考查函数的值域，涉及换元法和二次函数区间的最值，属基础题．