Question

（本小题满分14分）已知（为常数），曲线在点处的切线与直线垂直.

（Ⅰ）求的值及函数的单调区间；

（Ⅱ）证明：当时，；

（Ⅲ）设，若在上单调递减，求实数的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）；的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析: （Ⅰ）由题知曲线在点处的切线的斜率为-1，求出在x=0处导数，即可列出关于方程，即可解出值，代入导函数中，再利用导数与函数单调性关系即可求出函数的单调区间；

（Ⅱ）构造函数 ，求出，根据（Ⅰ）知道的单调性，再利用函数性质即可证明所需证明的不等式；

（Ⅲ）先求出，由在上单调递减得，≤0对1≤≤3恒成立，转化为二次函数在某个区间上恒成立问题，利用二次函数图像与性质及数形结合思想，列出关于m的不等式，即可求出实数m的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）由题意知，曲线在点处的切线的斜率为-1.

由，得，

，得

所以，

令，得

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.

（Ⅱ）令，则

由（Ⅰ）知，的极小值即最小值，，

故在上单调递增，因此，当时，，即；

（Ⅲ）法一：

由题意知，，因为在上单调递减在恒成立， 10分

图像过点，. 13分

所以满足实数的取值范围为. 14分

法二：

由题意知，，因为在上单调递减

在恒成立， 10分

在恒成立，

令 只需 11分

在上为减函数，

所以满足实数的取值范围为. 14分

考点：曲线的切线；导数与函数单调性的关系；导数的综合应用