Question

已知f（x）=ln（x+1）．
（1）若，求g（x）在[0，2]上的最大值与最小值；
（2）当x＞0时，求证；
（3）当n∈N⁺且n≥2时，求证：．

Answer 1

（1）解：，=
∴g（x）在[0，1]上单调减，在[1，2]上单调增
∵g（0）=0，g（1）=，g（2）=﹣1+ln3
∴g（x）在[0，2]上的最大值为﹣1+ln3，最小值为0
（2）证明：函数的定义域为（﹣1，+∞）
构造函数h（x）=f（x）﹣x，∴h′（x）=
∴函数在（﹣1，0）上单调增，在（0，+∞）上单调减
∴在x=0处，函数取得极大值，也是最大值
∴h（x）≤h（0）=0
∴f（x）﹣x≤0
∵x＞0，∴
构造函数φ（x）=f（x）﹣，∴φ′（x）= 
∴函数在（﹣1，0）上单调减，在（0，+∞）上单调增
∴在x=0处，函数取得极小，也是最小值
∴φ（x）≥φ（0）=0 
∴f（x）﹣ ≥0
∵x＞0，∴ 
∴ 
（3）证明：∵f（x）=ln（x+1），
∴f（n）﹣f（n﹣1）=f（ ）
由（2）知： 
∴ 
∴ ，， ，…， 
叠加可得：