Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点F₂与抛物线y²=4x的焦点重合，过F₂作与x轴垂直的直线交椭圆于S，T两点，交抛物线于C，D两点，且

|CD|

|ST|

=2

2

．
（I）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）设Q（2，0），过点（-1，0）的直线l交椭圆E于M、N两点．
（i）当

QM

•

QN

=

19

3

时，求直线l的方程；
（ii）记△QMN的面积为S，若对满足条件的任意直线l，不等式S＞λtan∠MQN恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点坐标，从而设出椭圆E的方程，求出|CD|，|ST|，利用条件，即可求得椭圆E的方程；
（Ⅱ）（i）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用向量的数量积公式及韦达定理，结合条件，即可求直线l的方程；
（ii）求出

QM

•

QN

的最大值是

17

2

，根据S≤λtan∠MQN恒成立，利用数量积公式，即可求λ的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点F₂（1，0），∴c=1．
∴椭圆E的方程为

x2

b2+1

+

y2

b2

=1
直线x=1代入抛物线方程，可得C（1，2），D（1，-2），∴|CD|=4
直线x=1代入椭圆方程，可得|ST|=

2b2

a

∵

|CD|

|ST|

=2

2

，∴

2a

b2

=2

2

∵a²-b²=1
∴a=

2

，b=1
∴椭圆E的方程为

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）（i）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则

QM

=（x₁-2，y₁），

QN

（x₂-2，y₂），
当直线l垂直于x轴时，x₁=x₂=-1，y₁=-y₂，y12=

1

2

∴

QM

•

QN

=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=9-y12=

17

2

≠

19

3

，不合题意；
直线l的斜率存在时，设方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
∴x₁+x₂=-

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

∵y₁=k（x₁+1），y₂=k（x₂+1）
∴

QM

•

QN

=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=（x₁-2）（x₂-2）+k（x₁+1）•k（x₂+1）
=(k2+1)x1x2+(k2-2)(x1+x2)+k2+4
=

17

2

-

13

2(1+2k2)

=

19

3

∴k²=1，∴k=±1
∴直线l的方程为x-y+1=0或x+y+1=0；
（ii）由（i）知，

QM

•

QN

=

17

2

-

13

2(1+2k2)

＜

17

2

∴

QM

•

QN

的最大值是

17

2

∵S≤λtan∠MQN恒成立，
∴

1

2

|

OM

||

ON

|sin∠MQN≤λ

sin∠MQN

cos∠MQN

恒成立
∵

QM

•

QN

=

17

2

-

13

2(1+2k2)

＞0
∴cos∠MQN＞0
∴|

OM

||

ON

|cos∠MQN≤2λ恒成立
∴

QM

•

QN

≤2λ恒成立
∴2λ≥

17

2

，即λ≥

17

4

∴λ的最小值

17

4

．

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆、抛物线方程的位置关系，考查向量的数量积公式，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．