Question

11．（1）解关于x的不等式2${\;}^{{x}^{2}-1}$≥1．
（2）记（1）中的不等式的解集为A，函数g（x）=lg[（x-a-1）（2a-x）]（a＜1）的定义域为B，若B⊆A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据指数不等式的解法解得即可；
（2）先求出集合B，根据B⊆A的关系即可求出a的范围．

解答 解：（1）2${\;}^{{x}^{2}-1}$≥1=2⁰，
∴x²-1≥0，
解得x≤-1，或x≥1，
故不等式2${\;}^{{x}^{2}-1}$≥1的解集为（-∞，-1]∪[1，+∞）；
（2）由（1）得A=（-∞，-1]∪[1，+∞）；
函数g（x）=lg[（x-a-1）（2a-x）]（a＜1）的定义域为B，
∴（x-a-1）（2a-x）＞0，
即[x-（a+1）]（x-2a）＜0，
解得2a＜x＜a+1，
∴B=（2a，a+1），
∵B⊆A，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+1≤-1}\\{a＜1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{2a≥1}\\{a＜1}\end{array}\right.$，
解得a＜1，或$\frac{1}{2}$＜a＜1，
∴a＜1
∴实数a的取值范围是（-∞，1）．

点评 本题考查了指数函数不等式的解法以及集合之间的包含关系，属于基础题．