Question

13．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的弦AB过以P（-8，-10）为中点，
（1）求直线AB的方程．
（2）若O为坐标原点，求三角形OAB的面积．

Answer 1

分析 （1）利用平方差法：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入双曲线方程然后作差，由中点坐标公式及斜率公式可求得直线l的斜率，再用点斜式即可求得直线方程．
（2）直线代入双曲线方程，利用韦达定理求出|AB|，求出O点到AB的距离，即可求三角形OAB的面积．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-16，y₁+y₂=-20，
A，B代入方程，两式相减得5（x₁-x₂）（x₁+x₂）-4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
所以k_AB=1，…（4分）
而直线过P，所以AB的方程为y=x-2，经检验此方程满足条件．，…（7分）
（2）y=x-2代入$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，可得x²+16x-36=0，
∴x₁+x₂=-16，x₁x₂=-36，
∴|AB|=$\sqrt{2}•\sqrt{1{6}^{2}+4•36}$=20$\sqrt{2}$（9分）
O点到AB的距离为$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，…（11分）
∴所求面积为$\frac{1}{2}×20\sqrt{2}×\sqrt{2}$=20…（13分）

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查直线方程的求法，涉及弦中点问题，往往考虑利用“平方差法”加以解决．