Question

已知函数f（x）=x²+bsinx-2（b∈R），F（x）=f（a）+2且对于任意实数x，恒有F（x）-F（-x）=0
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知函数g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上单调递减，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若关于x的方程在[1，e]上恰有两个相异实根，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）函数f（x）=x²+bsinx-2（b∈R），F（x）=f（x）+2
∴F（x）=x²+bsinx
依题意，对任意实数x，恒有F（x）-F（-x）=0
即x²-bsinx=x²+bsinx，
即2bsinx=0对于任意实数x都成立，
∴b=0
∴f（x）=x²-2．…（4分）
（Ⅱ）∵函数g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx，
∴g（x）=x²+2x+alnx，得
∵函数g（x）在（0，1）上上单调递减，
∴在区间（0，1）上，g′（x）≤0在（0，1）上恒成立．…（7分）
即2x²+2x+a≤0在（0，1）上恒成立．
∴a≤-（2x²+2x）在（0，1）上恒成立．
而u（x）=-（2x²+2x）在（0，1）上单调递减
∴a≤-4．…（9分）
（Ⅲ）令，
∴
令，解得x=±2
∵x＞0，∴x=2
当0＜x＜2时，h′（x）＞0；当x＞2时，h′（x）＜0；
即h（x）在[1，2）上单调递增，在[2，e]上单调递减…（11分）
为了使方程在[1，e]上恰有两个相异实根，只须h（x）=0在[1，2）和（2，e]上各有一个实根，
于是有，即
解得
所以实数k的取值范围是．…（14分）
分析：（Ⅰ）先表示出F（x）的表达式，再根据对任意实数x，恒有F（x）-F（-x）=0，我们可以求出b的值，进而可确定函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）将（Ⅰ）中求出的函数f（x）的解析式代入函数g（x）然后求导，将问题转化为g′（x）≤0在（0，1）上恒成立，再利用分离参数法，我们就可以求实数a的取值范围；
（Ⅲ）构造函数，可以得出h（x）在[1，2）上单调递增，在[2，e]上单调递减，为了使方程在[1，e]上恰有两个相异实根，只须h（x）=0在[1，2）和（2，e]上各有一个实根，可求k的范围
点评：本题主要考查了利用奇函数的性质求函数的解析式，，函数的恒成立问题的求解常利用分离参数法解决，而函数的构造是求解本题的关键．