Question

已知函数.

(Ⅰ) 若函数在处的切线方程为，求实数的值.

（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) ；

（Ⅱ） 。

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 由得

               （2分）

 

函数在处的切线方程为，

所以 ，解得                   （5分）

（Ⅱ）当时，不等式恒成立，

所以，，而   （6分）

由（Ⅰ）知

令得或                         （8分）

（1）当即时，恒成立，所以在上递增，成立                        （9分）

（2）当即时，由解得或

①当即时，在上递增，在上递减，

所以，解得；

②当即时，在上递增，在上递减，

在上递增，

故，

解得；                              （12分）

（3）当即时，由解得或

①当即时，在上递减，在上递增，舍去；

②当即时，在上递增，在上 递减， 在上递增，

所以，解得 （14分）

所以实数的取值范围为 （15分）

考点：导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题。

点评：中档题，利用导数研究函数的单调性、极值，是导数应用的基本问题，主要依据“在给定区间，导函数值非负，函数为增函数；导函数值非正，函数为减函数”。确定函数的极值，遵循“求导数，求驻点，研究单调性，求极值”。不等式恒成立问题，往往通过构造函数，研究函数的最值，使问题得到解决。