Question

16．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，4），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在抛物线上．
（1）写出该抛物线的方程；
（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求直线AB的斜率．

Answer 1

分析 （1）由图与题意可设抛物线的标准方程为：y²=2px．（p＞0）．把点P（1，4）代入抛物线方程解得p即可得出；
（2）由直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，可得k₁+k₂=0，化简可得y₁+y₂=-8．再利用直线AB的斜率k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$即可得出．

解答 解：（1）由图与题意可设抛物线的标准方程为：y²=2px，（p＞0）．
把点（1，4），代入抛物线方程可得：16=2p，则p=8，
∴抛物线的方程为：y²=16x；
（2）∵直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
∴k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-4}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}-4}{{x}_{2}-1}$=$\frac{{y}_{1}-4}{\frac{{y}_{1}^{2}}{16}-1}$+$\frac{{y}_{2}-4}{\frac{{y}_{2}^{2}}{16}-1}$=$\frac{16}{{y}_{1}+4}$+$\frac{16}{{y}_{2}+4}$=0，
化简可得y₁+y₂=-8，
直线AB的斜率k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{{y}_{1}^{2}}{16}-\frac{{y}_{2}^{2}}{16}}$=$\frac{16}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
直线AB的斜率-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题