Question

16．设a，b，c，d是正数，且a+b+c+d=4，证明：$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{d}$+$\frac{{d}^{2}}{a}$≥4+（a-b）²．

Answer 1

分析 通过柯西不等式可知$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{d}$+$\frac{{d}^{2}}{a}$≥$\frac{（b+c+d）^{2}}{c+d+a}$，利用a+b+c+d=4整理、拼凑可知$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{d}$+$\frac{{d}^{2}}{a}$≥4+$\frac{4（a-b）^{2}}{b（4-b）}$，利用$\frac{4}{b（4-b）}$≥1整理即得结论．

解答 证明：$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{d}$+$\frac{{d}^{2}}{a}$=$\frac{{a}^{2}}{b}$+（$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{d}$+$\frac{{d}^{2}}{a}$）
≥$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{（b+c+d）^{2}}{c+d+a}$（柯西不等式）
=$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{（4-a）^{2}}{4-b}$
=$\frac{（4-b）{a}^{2}+b（4-a）^{2}}{b（4-b）}$
=$\frac{（16b-4{b}^{2}）+（4{a}^{2}-8ab+4{b}^{2}）}{b（4-b）}$
=4+$\frac{4（a-b）^{2}}{b（4-b）}$，
∵（b-2）²≥0，
∴$\frac{4}{b（4-b）}$≥1，
∴$\frac{4（a-b）^{2}}{b（4-b）}$≥（a-b）²，
∴$\frac{{a}^{2}}{b}$+$\frac{{b}^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{d}$+$\frac{{d}^{2}}{a}$≥4+（a-b）²．

点评 本题考查不等式的证明，利用柯西不等式是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．