Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A（-1，0），B（5，0），若上述二次函数图象与y轴正半轴交与点C，将△ABC沿直线BC翻折，恰好使点A落在该二次函数图象的对称轴上．
（1）求此时二次函数的解析式并写出其图象顶点D的坐标；
（2）若点E是该二次函数图象的对称轴上一点，且使△BDE≌△ABC，求点E的坐标．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先设出函数的表达式，结合图象的对称性，求出c点的坐标，从而求出函数的解析式；（2）结合三角形全等的性质得到DE=BC，从而求出E点的坐标．

解答： 解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A（-1，0），B（5，0），
不妨设函数的解析式为y=a（x+1）（x-5），
由题意画出函数的草图，如图示：
，
由题意得：BD=AB=6，
∴A点关于BC的对称点D点到x轴的距离是：

36-9

=3

3

，
∴D（2，3

3

），
设出C点的坐标是（0，c），由AC=DC，
得：1+c²=4+(3

3

-c)2，解得：c=

5 3

3

，
把C（0，

5 3

3

）代入函数表达式得：a=-

3

3

，
∴函数的解析式是y=-

3

3

（x+1）（x-5），
把D（2，3

3

）代入函数的表达式符合，
∴D（2，3

3

）点是图象的顶点；
（2）由△BDE≌△ABC，
得DE=BC=

5 10

3

，
∴E（2，3

3

-

5 10

3

）．

点评：本题考查了二次函数的性质，考查了轴对称图形，考查了两点间的距离公式，考查了全等三角形，是一道中档题．