【题目】已知两个无穷数列分别满足
,
,
其中,设数列
的前
项和分别为
,
(1)若数列都为递增数列,求数列
的通项公式;
(2)若数列满足:存在唯一的正整数
(
),使得
,称数列
为“
坠点数列”
①若数列为“5坠点数列”,求
;
②若数列为“
坠点数列”,数列
为“
坠点数列”,是否存在正整数
,使得
,若存在,求
的最大值;若不存在,说明理由.
【答案】(1),
(2)①
②
【解析】
(1)∵数列都为递增数列,
∴由递推式可得,
,
则数列为等差数列,数列
从第二项起构成等比数列.
∴;
(2)①∵数列满足:存在唯一的正整数k=5,使得
,且
,
∴数列必为1,3,5,7,5,7,9,11,…,即前4项为首项为1,公差为2的等差数列,从第5项开始为首项5,公差为2的等差数列,
故;
②∵,即
,∴
,而数列
为“
坠点数列”且
,数列
中有且只有两个负项.假设存在正整数
,使得
,显然
,且
中各项均为奇数,∴
必为偶数.
.
ⅰ.当时,
,
当时,
,故不存在
,使得
成立.
ⅱ.当时,
,显然不存在
,使得
成立.
ⅲ.当时,
,当
时,才存在
,使得
成立.所以
.当
时,
,构造
为1,3,1,3,5,7,9,…,
为-1,2,4,8,-16,32,…,此时
,所以
的最大值为6.
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【题目】已知为定义在实数集
上的函数,把方程
称为函数
的特征方程,特征方程的两个实根
、
(
),称为
的特征根.
(1)讨论函数的奇偶性,并说明理由;
(2)已知为给定实数,求
的表达式;
(3)把函数,
的最大值记作
,最小值记作
,研究函数
,
的单调性,令
,若
恒成立,求
的取值范围.
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【题目】已知椭圆和直线
:
,椭圆的离心率
,坐标原点到直线
的距离为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知定点,若直线
过点
且与椭圆相交于
两点,试判断是否存在直线
,使以
为直径的圆过点
?若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】对于定义在区间的函数
,定义:
(
),
(
),其中,
表示函数
在
上的最小值,
表示函数
在
上的最大值.
(1)若,
,试写出
、
的表达式;
(2)设且
,函数
,
,如果
与
恰好为同一函数,求
的取值范围.
(3)若存在最小正整数,使得
对任意的
成立,则称函数
为
上的“
阶收缩函数”,已知函数
,
,试判断
是否为
上的“
阶收缩函数”,如果是,求出对应的
,如果不是,请说明理由.
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【题目】某创业投资公司投资开发某种新能源产品,估计能获得10万元到100万元的投资收益,现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:①奖金(单位:万元)随投资收益
(单位:万元)的增加而增加;②奖金不超过9万元;③奖金不超过投资收益的20%.
(1)若建立函数模型制定奖励方案,试用数学语言表述该公司对奖励函数
模型的基本要求,并分析函数
是否符合公司要求的奖励函数模型,并说明原因;
(2)若该公司采用模型函数作为奖励函数模型,试确定最小的正整数
的值.
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【题目】如图是某商场2018年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图(例如:第3季度内,洗衣机销量约占,电视机销量约占
,电冰箱销量约占
).根据该图,以下结论中一定正确的是( )
A. 电视机销量最大的是第4季度
B. 电冰箱销量最小的是第4季度
C. 电视机的全年销量最大
D. 电冰箱的全年销量最大
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【题目】每年六、七月份,我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节,如图是江南某地区年10年间梅雨季节的降雨量
单位:
的频率分布直方图,试用样本频率估计总体概率,解答下列问题:
假设每年的梅雨季节天气相互独立,求该地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350mm的概率.
老李在该地区承包了20亩土地种植杨梅,他过去种植的甲品种杨梅,平均每年的总利润为28万元
而乙品种杨梅的亩产量
亩
与降雨量之间的关系如下面统计表所示,又知乙品种杨梅的单位利润为
元
,请你帮助老李分析,他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使总利润
万元
的期望更大?并说明理由.
降雨量 | ||||
亩产量 | 500 | 700 | 600 | 400 |
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