Question

【题目】对于定义在区间的函数，定义：（），（），其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值.

（1）若，，试写出、的表达式；

（2）设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围.

（3）若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1），，，；（2）；（3）是，，理由见解析.

【解析】

（1）根据的最大值为，可得、的表达式。

（2）若与恰好为同一函数，只须在上是单调递减，讨论的取值由复合函数的单调性即可求解。

（3）根据函数在上的值域，写出、的解析式，再由求出的范围得到答案。

（1）由题意可得：，

（2）若 与恰好为同一函数，只须在上是单调递减，

当时，令，则

由，则，对称轴，根据复合函数的单调性显然在为单调递减，故成立。

当时，令，由，则，只需

化简得，解得

综上所述的取值范围为

（3）

当时，，，；

当时，，，；

当时，，，

综上所述：

故是上的“阶收缩函数”， 且小正整数