Question

【题目】如图，是边长为1的正三角形，点P在所在的平面内，且（a为常数），下列结论中正确的是（ ）

A.当时，满足条件的点P有且只有一个

B.当时，满足条件的点P有三个

C.当时，满足条件的点P有无数个

D.当a为任意正实数时，满足条件的点总是有限个

Answer 1

【答案】C

【解析】

以所在直线为轴，中点为原点，建立直角坐标系，如图所示设，将式子化为关于、、的式子，化简整理可得，讨论的取值范围，可得当时方程表示以点为圆心，半径的圆，满足条件的点有无数个，可知只有项符合题意．

以所在直线为轴，中点为原点，建立直角坐标系，如图所示

则，，，

设，可得，

，，

∵，

∴，

化简得：，即，

配方，得…（1）

当时，方程（1）的右边小于0，故不能表示任何图形；

当时，方程（1）的右边为0，表示点，恰好是正三角形的重心；

当时，方程（1）的右边大于0，表示以为圆心，半径为的圆，

由此对照各个选项，可得只有C项符合题意.

故选：C．