Question

8．已知f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}-a}$是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断并证明f（x）在（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析 （1）f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}-a}$是奇函数，f（-1）=-f（1），再进行验证即可得出结论；
（2）根据函数单调性的定义，利用定义法即可得到结论．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}-a}$是奇函数，
∴f（-1）=-f（1），
∴$\frac{\frac{3}{2}}{1-a}=-\frac{3}{4-a}$，
∴a=2，此时满足f（-x）=-f（x）；
（2）函数y=f（x）在（0，+∞）上单调递减．
设x₁＞x₂＞0，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}}{（{2}^{{x}_{1}+1}-2）（{2}^{{x}_{2}+1}-2）}$＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），即函数y=f（x）在（0，+∞）上单调递减．

点评 本题主要考查函数的奇偶性，考查函数单调性的判断和证明，利用定义法是解决本题的关键．