Question

（本小题满分12分）已知函数，为自然对数的底数．

（1）过点的切线斜率为，求实数的值；

（2）当时，求证：；

（3）在区间上恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）详见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求实数的值；

（2）分析题意可知，问题等价于证明，因此构造函数，利用导数判断其单调性，通过求其最值即可证明；

（3）将条件中的不等式参变分离，得，从而问题就等价于研究函数在区间上的取值情况，利用导数判断其单调性即可求解．

试题解析：（1），，； 2分

（2）令，， 4分

令，即，解得，∴在上递减，在上递增，

∴最小值为，∴， 6分；

（3）由题意可知，化简得，， 8分 令，则，， 9分

由（2）知，在时，，∴，即在上单调递增，

∴， 11分 ∴． 12分

考点：1．利用导数研究曲线上某点切线方程；2．利用导数求函数的最值；3．恒成立问题．

考点分析： 考点1：导数在研究函数中的应用 考点2：函数的单调性与导数 考点3：函数的极值与导数 考点4：函数的最值与导数 试题属性

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