Question

设函数设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′(x)=

1

x

，g（x）=f（x）+f'（x）．
（1）求g（x）的单调区间和最小值；
（2）讨论g（x）与g(

1

x

)的大小关系；
（3）是否存在x₀＞0，使得|g(x)-g(x0)|＜

1

x

对任意x＞0成立？若存在，求出x₀的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意求出f（x）的解析式，代入g（x）=f（x）+f′（x）．求出g（x），求导，根据导数的正负取得函数的单调区间，从而可得函数的最小值；
（2）构造函数φ（x），利用导数求该函数的最小值，从而求得g（x）与g(

1

x

)的大小大小关系；
（3）假设存在x₀＞0，使得|g(x)-g(x0)|＜

1

x

对任意x＞0成立，转化为封闭型命题，利用研究函数的最值可得结论．

解答：解：（1）由f（1）=0，导函数f′(x)=

1

x

可知f（x）=lnx，x＞0，
∵g（x）=f（x）+f'（x），∴g(x)=lnx+

1

x

，x＞0．
求导函数可得g′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
所以当x∈（0，1）时，g'（x）＜0；x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，
故函数的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1），极小值为g（1）=1
∵函数在定义域上仅有一个极小值，∴也为最小值，最小值为g（1）=1．
（2）设φ(x)=g(x)-g(

1

x

)=2lnx+

1

x

-x，x＞0，则φ′(x)=-(

x-1

x

)2≤0，故函数在定义域内为减函数，
∵φ（1）=0，
∴当x∈（0，1）时，φ（x）＞0，即g（x）＞g(

1

x

)；x∈（1，+∞）时，φ（x）＜0，即g（x）＜g(

1

x

)；x=1时，g（x）=g(

1

x

)．
（3）假设存在满足题设的x₀，则|g(x)-g(x0)|＜

1

x

?-

1

x

＜g(x0)-(lnx+

1

x

)＜

1

x

?lnx＜g(x0)＜lnx+

2

x

，对任意x＞0成立，
从而有

(lnx)max＜g(x0) g(x0)＜(lnx+ 2 x )min

∵lnx→+∞，(lnx+

2

x

)min=1
∴无解，故不存在．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题，考查分类讨论的思想方法．其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．