Question

【题目】如图，已知抛物线C：y2=2px和⊙M：（x﹣4）2+y2=1，过抛物线C上一点H（x0 ， y0）（y0≥1）作两条直线与⊙M相切于A、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为 ．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；
（Ⅲ）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵点M到抛物线准线的距离为 = ，
∴ ，∴抛物线C的方程为y2=x．
（Ⅱ）法一：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴kHE=﹣kHF ，
设E（x1 ， y1），F（x2 ， y2），∴ ，∴ ，
∴y1+y2=﹣2yH=﹣4．
∴ ．
法二：∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴∠AHB=60°，可得 ， ，
∴直线HA的方程为 ，
联立方程组 ，得 ，
∵
∴ ， ．
同理可得 ， ，∴ ．（
（Ⅲ）法一：设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），∵ ，∴ ，
∴直线HA的方程为（4﹣x1）x﹣y1y+4x1﹣15=0，
同理，直线HB的方程为（4﹣x2）x﹣y2y+4x2﹣15=0，
∴ ， ，
∴直线AB的方程为 ，
令x=0，可得 ，
∵ ，∴t关于y0的函数在[1，+∞）上单调递增，
∴当y0=1时，tmin=﹣11．
法二：设点H（m2 ， m）（m≥1），HM2=m4﹣7m2+16，HA2=m4﹣7m2+15．
以H为圆心，HA为半径的圆方程为（x﹣m2）2+（y﹣m）2=m4﹣7m2+15，①
⊙M方程：（x﹣4）2+y2=1．②
①﹣②得：直线AB的方程为（2x﹣m2﹣4）（4﹣m2）﹣（2y﹣m）m=m4﹣7m2+14．（9分）
当x=0时，直线AB在y轴上的截距 （m≥1），
∵ ，∴t关于m的函数在[1，+∞）上单调递增，
∴当m=1时，tmin=﹣11
【解析】（Ⅰ）利用点M到抛物线准线的距离为 ，可得 ，从而可求抛物线C的方程；（Ⅱ）法一：根据当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），可得kHE=﹣kHF ， 设E（x1 ， y1），F（x2 ， y2），可得y1+y2=﹣2yH=﹣4，从而可求直线EF的斜率；
法二：求得直线HA的方程为 ，与抛物线方程联立，求出E，F的坐标，从而可求直线EF的斜率；（Ⅲ）法一：设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），求出直线HA的方程，直线HB的方程，从而可得直线AB的方程，令x=0，可得 ，再利用导数法，即可求得t的最小值．
法二：求以H为圆心，HA为半径的圆方程，⊙M方程，两方程相减，可得直线AB的方程，当x=0时，直线AB在y轴上的截距 （m≥1），再利用导数法，即可求得t的最小值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．