【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为
(
,
为参数),以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程与曲线
的直角坐标方程,并讨论两曲线公共点的个数;
(2)若,求由两曲线
与
交点围成的四边形面积的最大值.
【答案】(1)当或
时,两曲线有两个公共点;
当时,两曲线有四个公共点;
当或
时,两曲线无公共点.
(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)利用消去参数,求得椭圆的普通方程为
,将圆的极坐标方程两边平方,可求得圆的直角坐标方程为
.故当
或
时,两曲线有两个公共点;当
时,两曲线有四个公共点;当
或
时,两曲线无公共点.(2)根据椭圆和圆的对称性可知,四边形也关系
轴和原点对称,设四边形第一象限的点为
,利用面积公式可求得最大面积为
.
试题解析:
(1),
.
当或
时,两曲线有两个公共点;
当时,两曲线有四个公共点;
当或
时,两曲线无公共点.
(2)由于曲线与曲线
关于
轴、
轴以及原点对称,
所以四边形也关于轴、
轴以及原点对称.
设四边形位于第一象限的点为,
则四边形的面积为
.
当且仅当,即
时,等号成立.
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【题目】以下结论正确的是( )
A.若a<b且c<d,则ac<bd
B.若ac2>bc2 , 则a>b
C.若a>b,c<d,则a﹣c<b﹣d
D.若0<a<b,集合A={x|x= },B={x|x=
},则A?B
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【题目】某天数学课上,你突然惊醒,发现黑板上有如下内容:
例:求x3﹣3x,x∈[0,+∞)的最小值.解:利用基本不等式a+b+c≥3 ,得到x3+1+1≥3x,于是x3﹣3x=x3+1+1﹣3x﹣2≥3x﹣3x﹣2=﹣2,当且仅当x=1时,取到最小值﹣2
(1)老师请你模仿例题,研究x4﹣4x,x∈[0,+∞)上的最小值;
(提示:a+b+c+d≥4 )
(2)研究 x3﹣3x,x∈[0,+∞)上的最小值;
(3)求出当a>0时,x3﹣ax,x∈[0,+∞)的最小值.
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【题目】如图,已知抛物线C:y2=2px和⊙M:(x﹣4)2+y2=1,过抛物线C上一点H(x0 , y0)(y0≥1)作两条直线与⊙M相切于A、两点,分别交抛物线为E、F两点,圆心点M到抛物线准线的距离为 .
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)当∠AHB的角平分线垂直x轴时,求直线EF的斜率;
(Ⅲ)若直线AB在y轴上的截距为t,求t的最小值.
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【题目】已知左焦点为F(﹣1,0)的椭圆过点E(1, ).过点P(1,1)分别作斜率为k1 , k2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若P为线段AB的中点,求k1;
(3)若k1+k2=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标.
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【题目】【2017安徽马鞍山二模】已知动圆过定点,且在
轴上截得的弦长为4,记动圆圆心的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求直线与曲线C围成的区域面积;
(Ⅱ)点在直线
上,点
,过点
作曲线C的切线
、
,切点分别为
、
,证明:存在常数
,使得
,并求
的值.
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【题目】数列{an}的前n项和为Sn , 若对于任意的正整数n都有Sn=2an﹣3n.
(1)设bn=an+3,求证:数列{bn}是等比数列,并求出{an}的通项公式;
(2)求数列{nan}的前n项和.
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