【题目】【2017安徽马鞍山二模】已知动圆过定点,且在
轴上截得的弦长为4,记动圆圆心的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求直线与曲线C围成的区域面积;
(Ⅱ)点在直线
上,点
,过点
作曲线C的切线
、
,切点分别为
、
,证明:存在常数
,使得
,并求
的值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)1
【解析】试题分析:可出设动圆圆心的坐标为,根据题设用直接法可得曲线方程;(Ⅰ)直线方程和曲线方程联立求交点坐标,根据定积分求曲边形面积可得结果;(Ⅱ)设
、
,
,根据导数求切线斜率,设切线方程,由韦达定理
、
用
,表示可得
.
试题解析:(Ⅰ)设动圆圆心的坐标为,由题意可得,
,化简得
,联立方程组
,解得
或
,所以直线
与曲线C围成的区域面积为
;
(Ⅱ)设、
,则由题意可得,切线
的方程为
,切线
的方程为
,再设点
,从而有
,所以可得出直线AB的方程为
,即
.
联立方程组,得
,又
,所以有
,
可得,
,
,
所以常数.
【方法点晴】本题主要考查抛物线标准方程、定积分的应用以及解析几何中的存在性问题,属于难题.解决存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在,注意:①当条件和结论不唯一时要分类讨论;②当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;③当条件和结论都不知,按常规方法题很难时采取另外的途径.
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【题目】平面直角坐标系中,有椭圆 (
为参数)和抛物线
(
为参数).
(Ⅰ)是否存在这样的值,使得该椭圆与该抛物线有四个不同的交点?请说明理由.
(Ⅱ)当取何值时,该椭圆与该抛物线的交点与坐标原点的距离等于这个交点与该椭圆中心的距离?
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为
(
,
为参数),以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程与曲线
的直角坐标方程,并讨论两曲线公共点的个数;
(2)若,求由两曲线
与
交点围成的四边形面积的最大值.
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【题目】下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( )
A.f(x)=x
B.f(x)=x3
C.f(x)=( )x
D.f(x)=3x
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【题目】已知函数f(x)=2x的定义域是[0,3],设g(x)=f(2x)﹣f(x+2).
(1)求g(x)的解析式及定义域;
(2)求函数g(x)的最大值和最小值.
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【题目】对任意实数a,b定义运算“⊙”:a⊙b= 设f(x)=2x+1⊙(1﹣x),若函数f(x)与函数g(x)=x2﹣6x在区间(m,m+1)上均为减函数,且m∈{﹣1,0,1,3},则m的值为( )
A.0
B.﹣1或0
C.0或1
D.0或1或3
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【题目】【2017湖南长沙二模】某种产品的质量以其质量指标值衡量,并依据质量指标值划分等极如下表:
质量指标值 | |||
等级 | 三等品 | 二等品 | 一等品 |
从某企业生产的这种产品中抽取200件,检测后得到如下的频率分布直方图:
(1)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品90%”的规定?
(2)在样本中,按产品等极用分层抽样的方法抽取8件,再从这8件产品中随机抽取4件,求抽取的4件产品中,一、二、三等品都有的概率;
(3)该企业为提高产品质量,开展了“质量提升月”活动,活动后再抽样检测,产品质量指标值近似满足
,则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少?
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【题目】设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是 、
,坐标平面上点列An、Bn(n∈N*)分别满足下列两个条件:①
=
且
=
+
;②
=4
且
=
×4
;
(1)写出 及
的坐标,并求出
的坐标;
(2)若△OAnBn+1的面积是an , 求an(n∈N*)的表达式;
(3)对于(2)中的an , 是否存在最大的自然数M,对一切n∈N*都有an≥M成立?若存在,求出M,若不存在,说明理由.
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