【题目】平面直角坐标系中,有椭圆 (
为参数)和抛物线
(
为参数).
(Ⅰ)是否存在这样的值,使得该椭圆与该抛物线有四个不同的交点?请说明理由.
(Ⅱ)当取何值时,该椭圆与该抛物线的交点与坐标原点的距离等于这个交点与该椭圆中心的距离?
【答案】(1)不存在(2)0或 .
【解析】试题分析:(1)将题中的椭圆及抛物线方程分别消参化为普通方程,并联立得方程组,转化为二次方程根的分布问题;(2)确定该椭圆与该抛物线的交点与坐标原点的距离,确定这个交点与该椭圆中心的距离,比较判断即可.
试题解析:
解:(Ⅰ)将题中的椭圆及抛物线方程分别消参化为普通方程,并联立得方程组:
消去y得,令
.
由抛物线方程知,则椭圆与抛物线有四个交点的充要条件是方程
在上有两个不等的实根,即
即
显然此不等式组无解,故满足题设条件的值不存在.
(Ⅱ)由Δ≥0得,又知椭圆的半长轴
,抛物线的顶点为
,故当
,即
时,椭圆与抛物线必相交.
若满足题设条件,可有以下两种情况:①椭圆中心与原点重合,此时;②椭圆与抛物线的交点在椭圆中心与原点所连线段的垂直平分线上,即交点在直线
上,
将代入
,得
,解得
舍去负值).
综上所述,满足题设条件的值应为0或
.
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【题目】经过原点的直线与椭圆交于
两点,点
为椭圆上不同于
的一点,直线
的斜率均存在,且直线
的斜率之积为
.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设分别为椭圆的左、右焦点,斜率为
的直线
经过椭圆的右焦点,且与椭圆交于
两点.若点
在以
为直径的圆内部,求
的取值范围.
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【题目】在直角坐标系中,以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆
的极坐标方程为
,圆
的极坐标方程为
,已知
与
交于
、
两点,点
位于第一象限.
(Ⅰ)求点和点
的极坐标;
(Ⅱ)设圆的圆心为
,点
是直线
上的动点,且满足
,若直线
的参数方程为
(
为参数),则
的值为多少?
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【题目】盒内有大小相同的9个球,其中2个红色球,3个白色球,4个黑色球.规定取出1个红色球得1分,取出1个白色球得0分,取出1个黑色球得分,现从盒内任取3个球.
(Ⅰ)求取出的3个球中至少有一个红球的概率;
(Ⅱ)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率;
(Ⅲ)设为取出的3个球中白色球的个数,求
的分布列及期望.
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【题目】以下结论正确的是( )
A.若a<b且c<d,则ac<bd
B.若ac2>bc2 , 则a>b
C.若a>b,c<d,则a﹣c<b﹣d
D.若0<a<b,集合A={x|x= },B={x|x=
},则A?B
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【题目】某天数学课上,你突然惊醒,发现黑板上有如下内容:
例:求x3﹣3x,x∈[0,+∞)的最小值.解:利用基本不等式a+b+c≥3 ,得到x3+1+1≥3x,于是x3﹣3x=x3+1+1﹣3x﹣2≥3x﹣3x﹣2=﹣2,当且仅当x=1时,取到最小值﹣2
(1)老师请你模仿例题,研究x4﹣4x,x∈[0,+∞)上的最小值;
(提示:a+b+c+d≥4 )
(2)研究 x3﹣3x,x∈[0,+∞)上的最小值;
(3)求出当a>0时,x3﹣ax,x∈[0,+∞)的最小值.
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【题目】【2017安徽马鞍山二模】已知动圆过定点,且在
轴上截得的弦长为4,记动圆圆心的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求直线与曲线C围成的区域面积;
(Ⅱ)点在直线
上,点
,过点
作曲线C的切线
、
,切点分别为
、
,证明:存在常数
,使得
,并求
的值.
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