Question

【题目】已知左焦点为F（﹣1，0）的椭圆过点E（1， ）．过点P（1，1）分别作斜率为k1 ， k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为线段AB的中点，求k1；
（3）若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意c=1，且右焦点F′（1，0）

∴2a=EF+EF′= ，b2=a2﹣c2=2

∴所求椭圆方程为

（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则

①， ②

②﹣①，可得k1= =﹣ =﹣

（3）证明：由题意，k1≠k2，

设M（xM，yM），直线AB的方程为y﹣1=k1（x﹣1），即y=k1x+k2，

代入椭圆方程并化简得（ ）x2+6k1k2x+ =0

∴ ，

同理， ，

当k1k2≠0时，直线MN的斜率k= =

直线MN的方程为y﹣ = （x﹣ ）

即

此时直线过定点（0，﹣ ）

当k1k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点（0，﹣ ）

综上，直线MN恒过定点，且坐标为（0，﹣ ）

【解析】（1）利用椭圆的定义求出椭圆的标准方程；（2）设A，B的坐标，利用点差法确定k1的值；（3）求出直线MN的方程，利用根与系数的关系以及k1+k2=1探究直线过哪个定点．
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能得出正确答案．