Question

【题目】数列{an}的前n项和为Sn ， 若对于任意的正整数n都有Sn=2an﹣3n．
（1）设bn=an+3，求证：数列{bn}是等比数列，并求出{an}的通项公式；
（2）求数列{nan}的前n项和．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn=2an﹣3n，对于任意的正整数都成立，

∴Sn+1=2an+1﹣3n﹣3，

两式相减，得a n+1=2an+1﹣2an﹣3，即an+1=2an+3，

∴an+1+3=2（an+3），

所以数列{bn}是以2为公比的等比数列，

由已知条件得：S1=2a1﹣3，a1=3．

∴首项b1=a1+3=6，公比q=2，

∴an=62n﹣1﹣3=32n﹣3

（2）解：∵nan=3×n2n﹣3n

∴Sn=3（12+222+323+…+n2n）﹣3（1+2+3+…+n），

2Sn=3（122+223+324+…+n2n+1）﹣6（1+2+3+…+n），

∴﹣Sn=3（2+22+23+…+2n﹣n2n+1）+3（1+2+3+…+n）

=

∴Sn=

【解析】（1）通过递推关系式求出an与an+1的关系，推出{an+3}即数列{bn}是等比数列，求出数列{bn}的通项公式即可求出{an}的通项公式；（2）写出数列{nan}的通项公式，然后写出前n项和的表达式通过错位相减法求解即可．