Question

【题目】已知f（x）=log3（1+x）﹣log3（1﹣x）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）已知函数g（x）=log ，当x∈[ ， ]时，不等式 f（x）≥g（x）有解，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=log3（1+x）﹣log3（1﹣x）为奇函数．

理由：1+x＞0且1﹣x＞0，得定义域为（﹣1，1），

又f（﹣x）=log3（1﹣x）﹣log3（1+x）=﹣f（x），

则f（x）是奇函数

（2）解：g（x）=log =2log3 ，

又﹣1＜x＜1，k＞0，（6分）

由f（x）≥g（x）得log3 ≥log3 ，

即 ≥ ，

即k2≥1﹣x2，（9分）

x∈[ ， ]时，1﹣x2最小值为 ，

则k2≥ ，

又k＞0，则k≥ ，

即k的取值范围是（﹣∞， ]

【解析】（1）f（x）为奇函数，理由：求得定义域，计算f（﹣x）与f（x）比较即可得证；（2）由题意可得log3 ≥log3 ，即 ≥ ，即k2≥1﹣x2 ， 求得1﹣x2的最小值即可得到k的范围．
【考点精析】通过灵活运用函数的奇偶性，掌握偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称即可以解答此题．