Question

【题目】已知函数（）．

（Ⅰ）若方程有两根，求的取值范围；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，设，求证： 随着的减小而增大；

（Ⅲ）若不等式恒成立，求证： （）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）见解析; （Ⅲ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由，有，设，求得的单调性，进而由方程，求解实数的取值范围；

（Ⅱ）由题意， ，推得进而得到，即可得到随着的减小而增大．

（Ⅲ）依题意， 恒成立，记，则，

分类讨论得到函数的最小值， ，设，利用函数的性质，即可求得结论.

试题解析：（Ⅰ）由，有，

设，由，

在上单调递增，在上单调递减，又， ．当时， ；当时， ．

故若方程有两根，则．

（Ⅱ）故若方程有两根，则， ．

假设对于任意的．记，由上可知；记，由上可知．

因为在上单调递增，在上单调递减，故由可知， ．

又因为， ，所以，故随着的减小而增大．

（Ⅲ）依题意， 恒成立，记，则．

①当时， 在恒成立，故在单调递减，又因为，所以在上函数值小于零，不符合题意，舍去．

②当时， 得．

	小于0	大于0
	单调递减	单调递增

由上表可知在上的．

记，由可知， 在单调递增，在单调递减，故，综上，即．

由可得（），两边乘以可得，即．

则．