【题目】如图所示,在中,
的中点为
,且
,点
在
的延长线上,且
.固定边
,在平面内移动顶点
,使得圆
与边
,边
的延长线相切,并始终与
的延长线相切于点
,记顶点
的轨迹为曲线
.以
所在直线为
轴,
为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)设动直线交曲线
于
两点,且以
为直径的圆经过点
,求
面积的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】【试题分析】(1)依据题设条件运用椭圆的定义进行分析探求;(2)借助题设条件运用直线与椭圆的位置关系进行分析求解:
(Ⅰ)依题意得,设动圆
与边
的延长线相切于
,与边
相切于
, 则
所以
所以点
轨迹
是以
为焦点,长轴长为4的椭圆,且挖去长轴的两个顶点.则曲线
的方程为
.
由于曲线要挖去长轴两个顶点,所以直线
斜率存在且不为
,所以可设直线
由得
,
,同理可得:
,
;
所以,
又,所以
令
,
则且
,所以
又
,所以
,
所以,
所以,所以
,
所以面积的取值范围为
.
【法二】
依题意得直线斜率不为0,且直线
不过椭圆的顶点,则可设直线
:
,且
。
设,又以
为直径的圆经过点
,则
,所以
由得
,则
且,所以
又
代入①得:
,所以
,
代入②得: 恒成立所以
且
.
又;
点到直线
的距离为
,
所以
(Ⅰ)当时,
;
(Ⅱ)当且
时,
,
又,当且仅当
时取“
”,所以
,
所以,所以
,
所以,所以
;
综合(1),(2)知.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知圆,
在抛物线
上,圆
过原点且与
的准线相切.
(Ⅰ) 求的方程;
(Ⅱ) 点,点
(与
不重合)在直线
上运动,过点
作
的两条切线,切点分别为
,
.求证:
(其中
为坐标原点).
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】回答下列问题
(1)已知圆C的方程为x2+y2=4,直线l过点P(1,2),且与圆C交于A、B两点.若|AB|=2 ,求直线l的方程;
(2)设直线l的方程为(a+1)x+y﹣2﹣a=0(a∈R).若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知: 、
、
是同一平面上的三个向量,其中
=(1,2).
(1)若| |=2
,且
∥
,求
的坐标.
(2)若| |=
,且
+2
与2
﹣
垂直,求
与
的夹角θ
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点、
,动点
满足
,设动点
的轨迹为曲线
,将曲线
上所有点的纵坐标变为原来的一半,横坐标不变,得到曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)是曲线
上两点,且
,
为坐标原点,求
面积的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】我国科研人员屠呦呦法相从青篙中提取物青篙素抗疟性超强,几乎达到100%,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间r(小时)之间近似满足如图所示的曲线
(1)写出第一服药后y与t之间的函数关系式y=f(x);
(2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于 微克时,治疗有效,求服药一次后治疗有效的时间是多长?
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com