Question

16．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F到双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{{3{a^2}}}$=1的渐近线的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，A，B为抛物线上的两动点，线段AB的中点M在定直线y=2上，则直线AB的斜率为1．

Answer 1

分析 利用抛物线y²=2px（p＞0）的焦点到双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{{3{a^2}}}$=1的渐近线的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，建立方程，求出p，可得抛物线的方程，设AB的方程为x=my+b，代入y²=4x，可得y²-4my-4b=0，利用线段AB的中点M在定直线y=2上，求出m，即可求出直线AB的斜率．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{{3{a^2}}}$=1的渐近线的方程为y=±$\sqrt{3}$x，
∵抛物线y²=2px（p＞0）的焦点到双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{{3{a^2}}}$=1的渐近线的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\frac{|\frac{\sqrt{3}p}{2}|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴p=2，
∴抛物线方程为y²=4x，
设AB的方程为x=my+b，代入y²=4x，可得y²-4my-4b=0，
∵线段AB的中点M在定直线y=2上，
∴4m=4，
∴m=1，
∴直线AB的斜率为1．
故答案为：1．

点评 本题考查直线AB的斜率，考查抛物线、双曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，求出抛物线的方程是关键．