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    8．定义域是R的函数，其图象是连续不断的，若存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数都成立，则称f（x）是R上的一个“λ的相关函数”．有下列关于“λ的相关函数”的结论：
    ①f（x）=0是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”；
    ②f（x）=x2是一个“λ的相关函数”；
    ③“$\frac{1}{2}$的相关函数”至少有一个零点；
    ④若y=ex是“λ的相关函数”，则-1＜λ＜0．
    其中正确结论的个数是（　　）
    A．1B．2C．3D．4

    分析 利用新定义“λ的相关函数”，对①②③④逐个判断即可得到答案

    解答 解：解：①∵f（x）=0是一个“λ的相关函数”，则0+λ•0=0，λ可以取遍实数集，因此f（x）=0不是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”，故①不正确；
    ②用反证法，假设f（x）=x2是一个“λ的相关函数”，则（x+λ）2+λx2=0，
    即（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，
    ∴λ+1=2λ=λ2=0，而此式无解，
    ∴f（x）=x2不是一个“λ的相关函数”，故②不正确；
    ③令x=0得：f（$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$f（0）=0，
    ∴f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$f（0），
    若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；
    若f（0）≠0，f（$\frac{1}{2}$）•f（0）=-$\frac{1}{2}$f（0）•f（0）=-$\frac{1}{2}$f2（0）＜0，
    又因为f（x）的函数图象是连续不断，
    ∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上必有实数根．因此任意的“$\frac{1}{2}$相关函数”必有根，即任意“$\frac{1}{2}$的相关函数”至少有一个零点，故③正确．
    ④假设f（x）=ex是一个“λ-同伴函数”，则ex+λ+λex=0对任意实数x成立，则有eλ+λ=0，可解得-1＜λ＜0．④正确．
    故选：B．

    点评 本题考查的知识点是函数的概念及构成要素，函数的零点，正确理解f（x）是λ的相关函数的定义，是解答本题的关键

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    上述命题中，真命题的个数是（　　）
    A．1B．2C．3D．4

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