Question

17．2014年第二届夏季青年奥林匹克运动会将在中国南京举行，为了迎接这一盛会，某公司计划推出系列产品，其中一种是写有“青奥吉祥数”的卡片．若设正项数列{a_n}满足n（n+1）a_n²-a_n-1=0，定义使log₂a_k为整数的实数k为“青奥吉祥数”，则在区间[1，2014]内的所有“青奥吉祥数之和”为2047．

Answer 1

分析 正项数列{a_n}满足n（n+1）a_n²-a_n-1=0，可得${a}_{n}=\frac{1}{n}$，log₂a_k=$lo{g}_{2}\frac{1}{k}$=-log₂k=m∈Z，k=2^-m∈[1，2014]，解得m=0，-1，-2，…，-10．再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵正项数列{a_n}满足n（n+1）a_n²-a_n-1=0，
∴（na_n-1）[（n+1）a_n+1]=0，∴${a}_{n}=\frac{1}{n}$，
∴log₂a_k=$lo{g}_{2}\frac{1}{k}$=-log₂k=m∈Z，k=2^-m∈[1，2014]，解得m=0，-1，-2，…，-10．
∴在区间[1，2014]内的所有“青奥吉祥数之和”S=2°+2¹+2²+…+2¹⁰=$\frac{{2}^{11}-1}{2-1}$=2047．
故答案为：2047．

点评 本题考查了递推式、对数的运算性质、等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．