Question

20．在等差数列{a_n}中，a₃=5，a₄+a₈=22，则{$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$}的前20项和为（　　）

• A． $\frac{40}{41}$
• B． $\frac{20}{41}$
• C． $\frac{42}{43}$
• D． $\frac{21}{43}$

Answer 1

分析 由已知列式求出等差数列的首项和公差，得到等差数列的通项公式，再由裂项相消法求得{$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$}的前
20项和．

解答 解：在等差数列{a_n}中，由a₄+a₈=22，得2a₆=22，a₆=11．
又a₃=5，得d=$\frac{{a}_{6}-{a}_{3}}{6-3}=\frac{11-5}{3}=2$，∴a₁=a₃-2d=5-4=1．
{$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$}的前20项和为：$\frac{1}{{a}_{1}•{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}•{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{20}•{a}_{21}}$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{20}}-\frac{1}{{a}_{21}}）$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{21}}）=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{1+20×2}）=\frac{20}{41}$．
故选：B．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．