Question

13．关于曲线C：${x^{\frac{2}{3}}}+{y^{\frac{2}{3}}}=1$，给出下列四个命题：
A．曲线C关于原点对称        B．曲线C有且只有两条对称轴
C．曲线C的周长l满足$l≥4\sqrt{2}$   D．曲线C上的点到原点的距离的最小值为$\frac{1}{2}$
上述命题中，真命题的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用曲线方程的特点结合曲线的图象分别进行判断即可．

解答 解：把曲线C中的（x，y ）同时换成（-x，-y ），方程不变，∴曲线C关于原点对称，即A正确；
曲线方程为${x^{\frac{2}{3}}}+{y^{\frac{2}{3}}}=1$，交换x，y的位置后曲线方程不变，∴曲线C关于直线y=x对称，同理，y=-x，x，y轴是曲线的对称轴，即B不正确；
在第一象限内，因为点（$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）在曲线上，由图象可知曲线在直线y=-x+1的下方，且为凹函数如图：
由以上分析可知曲线C的周长l满足$l≥4\sqrt{2}$，正确．
曲线C上的点到原点的距离的最小值为（$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）到原点的距离，为$\frac{1}{2}$，即D正确．
真命题有3个，故选：C．

点评 本题主要考查曲线方程的性质的判断和推理，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性较强难度较大．