Question

18．已知sinα-cosα=$\frac{1}{5}$（0＜α＜$\frac{π}{2}$），则sin2α=$\frac{24}{25}$，sin（2α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{31\sqrt{2}}{50}$．

Answer 1

分析 把所给的等式平方求得sin2α 的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sinα 和cosα的值，可得cos2α 的值，从而利用两角差的正弦公式求得sin（2α-$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：∵sinα-cosα=$\frac{1}{5}$（0＜α＜$\frac{π}{2}$），平方可得，1-2sinαcosα=$\frac{1}{25}$，
∴sin2α=2sinαcosα=$\frac{24}{25}$．
由以上可得sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$，∴cos2α=2cos²α-1=-$\frac{7}{25}$，
∴sin（2α-$\frac{π}{4}$）=sin2αcos$\frac{π}{4}$-cos2αsin$\frac{π}{4}$=$\frac{24}{25}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{7}{25}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{31\sqrt{2}}{50}$，
故答案为：$\frac{24}{25}$；$\frac{31\sqrt{2}}{50}$．

点评 本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．