Question

已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=c^x在R上单调递减；q：函数f（x）=x²-2cx+1在（

1

2

，+∞）上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析：由函数y=c^x在R上单调递减，知p：0＜c＜1，￢p：c＞1；由f（x）=x²-2cx+1在（

1

2

，∞）上为增函数，知q：0＜c≤

1

2

，￢q：c＞

1

2

且c≠1．由“p或q”为真，“p且q”为假，知p真q假，或p假q真，由此能求出实数c的取值范围．

解答：解∵函数y=c^x在R上单调递减，∴0＜c＜1．（2分）
即p：0＜c＜1，
∵c＞0且c≠1，∴￢p：c＞1．（3分）
又∵f（x）=x²-2cx+1在（

1

2

，∞）上为增函数，∴c≤

1

2

．
即q：0＜c≤

1

2

，
∵c＞0且c≠1，∴￢q：c＞

1

2

且c≠1．（5分）
又∵“p或q”为真，“p且q”为假，
∴p真q假，或p假q真．（6分）
①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩{c|c＞

1

2

，且c≠1}={c|

1

2

＜c＜1}．（8分）
②当p假，q真时，{c|c＞1}∩{c|0＜c≤

1

2

}=∅．[（10分）]
综上所述，实数c的取值范围是{c|

1

2

＜c＜1}．（12分）

点评：本题考查复合命题的真假判断及应用，解题时要认真审题，注意指数函数和二次函数的性质的灵活运用．