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设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x=1对称,对任意x1,x2∈[0,
1
2
],都有f(x1+x2)=f(x1)•f(x2),且f(1)=a>0.
(1)求f(
1
2
)及f(
1
4
);
(2)证明f(x)是周期函数.
分析:(1)已知任意x1,x2∈[0,
1
2
],都有f(x1+x2)=f(x1)•f(x2),令x1=x2=
1
2
,求出f(
1
2
),根据
1
2
=
1
4
+
1
4
进行求解;
(2)已知f(x)为偶函数,再根据f(x)关于x=1对称,进行证明;
解答:解;(1)∵f(1)=f(
1
2
+
1
2
)=f(
1
2
)•f(
1
2
)=f2
1
2
)=a,
∴f(
1
2
)=±
a

又∵f(
1
2
)=f(
1
4
+
1
4
)=f2
1
4
)>0,
∴f(
1
2
)=a
1
2
同理可得f(
1
4
)=a
1
4

(2)∵f(x)是偶函数,
∴f(-x)=f(x)
又∵f(x)关于x=1对称,
∴f(x)=f(2-x)
∴f(x)=f(-x)=f[2-(-x)]=f(2+x)  (x∈R)
这表明f(x)是R上的周期函数,且2是它的一个周期.
点评:此题主要考查函数的周期性,此类抽象函数的题,主要利用特殊值法,此题比较简单.
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-2

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 )=2
,则f(1)+f(
3
2
)+f(2)+f(
5
2
)+f(3)+f(
7
2
)
=
-2
-2

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