Question

2．已知数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=2a_n-n+1，数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=b_n+a_n-n．
（1）证明：{a_n-n}为等比数列；
（2）数列{c_n}满足${c_n}=\frac{{{a_n}-n}}{{（{{b_n}+1}）（{{b_{n+1}}+1}）}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n，求证：T_n$＜\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）a_n+1=2a_n-n+1，可得a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），即b_n+1=2b_n．即可证明．
（2）由（1）可得：b_n=a_n-n=2ⁿ．可得${c_n}=\frac{{{a_n}-n}}{{（{{b_n}+1}）（{{b_{n+1}}+1}）}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n+1}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$．利用裂项求和方法、数列的单调性即可证明．

解答 证明：（1）∵a_n+1=2a_n-n+1，∴a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），即b_n+1=2b_n．
∵a₁-1=2，∴{a_n-n}是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）可得：b_n=a_n-n=2ⁿ．
∴${c_n}=\frac{{{a_n}-n}}{{（{{b_n}+1}）（{{b_{n+1}}+1}）}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n+1}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$．
∴T_n=$（\frac{1}{2+1}-\frac{1}{{2}^{2}+1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}+1}-\frac{1}{{2}^{3}+1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}+1}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}）$
=$\frac{1}{3}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$$＜\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．