Question

13．四棱锥P-ABCD，侧面PCD为边长为2的正三角形，底面ABCD为对角线互相垂直的等腰梯形，M为AD的中点，$PO=\sqrt{2}$． 
（Ⅰ）求证：PM⊥BC；
（Ⅱ）若△PAB的面积为$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，求三棱锥C-PAB的体积．

Answer 1

分析 （I）利用勾股定理逆定理得出OP⊥OC，OP⊥OD，故而OP⊥平面ABCD，建立空间坐标系，设OA=a，求出$\overrightarrow{MP}$和$\overrightarrow{BC}$的坐标，利用数量积证明PM⊥BC；
（II）根据△PAB的面积计算OA，从而得出O到AB的距离，进而计算出梯形的高，代入棱锥的体积公式计算即可．

解答 （Ⅰ）证明：∵梯形ABCD是等腰梯形，AC⊥BD，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∵CD=2，∴OC=$\sqrt{2}$，
又PO=$\sqrt{2}$，PC=2，
∴PO⊥OC，
同理PO⊥OD，又OC∩OD=O，
∴PO⊥平面ABCD，
以O为原点，以OD，OC，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设OA=OB=a，则A（0，-a，0），B（-a，0，0），C（0，$\sqrt{2}$，0），D（$\sqrt{2}$，0，0），P（0，0，$\sqrt{2}$），
∵M是AD的中点，∴M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{a}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{MP}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{a}{2}$，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（a，$\sqrt{2}$，0），
∴$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{BC}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+0=0，
∴MP⊥BC．
（Ⅱ）解：∵△POA≌△POB，∴PA=PB，
取AB的中点E，CD的中点F，连结OE，OF，PE，则PE⊥AB，
∵△OAB是等腰直角三角形，OA=OB=a，
∴AB=$\sqrt{2}$a，OE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴PE=$\sqrt{P{O}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{2+\frac{{a}^{2}}{2}}$，∴S_△PAB=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}a×\sqrt{2+\frac{{a}^{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
解得a=1，∴OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AB=$\sqrt{2}$，
∵梯形ABCD是等腰梯形，∴O，E，F三点共线，
又OF=$\frac{1}{2}$CD=1，∴EF=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）$=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，
∴V_C-PAB=V_P-ABC=$\frac{1}{3}×$$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$×$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}+2}{6}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，空间向量与垂直证明，棱锥的体积计算，属于中档题．