Question

18．已知α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$），求f（α）=sin²α+2sinαcosα+3cos²α的最小值．

Answer 1

分析 利用倍角公式及两角和的正弦化简，然后由α的范围求得相位的范围，则函数值域可求．

解答 解：f（α）=（sinα）²+2sinαcosα+3（cosα）²
=1+2cos²α+2sinαcosα=sin2α+cos2α+2
=$\sqrt{2}$$sin（2α+\frac{π}{4}）+2$．
∵α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$），∴$2α+\frac{π}{4}∈$$（\frac{3π}{4}，\frac{11π}{12}）$，
∴$\sqrt{2}sin（2α+\frac{π}{4}）∈$（$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}，1$），
则f（α）的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}$．

点评 本题考查同角三角函数的基本关系式与两角和的正弦，考查了三角函数的最值，是基础的计算题．