Question

7．证明：（1）如果a，b＞0，则$lg\frac{a+b}{2}$≥$\frac{lga+lgb}{2}$
（2）已知a，b，c，d∈（0，+∞），求证ac+bd≤$\sqrt{（{a}^{2}+{b}^{2}）（{c}^{2}+{d}^{2}）}$．

Answer 1

分析 （1）当a，b＞0，利用基本不等式可得：$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$，上式两边同时取对数即可证明．
（2）利用分析法证明即可．

解答 （1）证明：当a，b＞0，有$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$，
上式两边同时取对数，有$lg\frac{a+b}{2}$≥$lg\sqrt{ab}$=$\frac{lga+lgb}{2}$，
∴原求证式成立．．
（2）证明：（分析法）
欲证ac+bd≤$\sqrt{{（a}^{2}+{b}^{2}）（{c}^{2}+{d}^{2}）}$，
只需证（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），
即证a²c²+2abcd+b²d²≤a²c²+b²d²+a²d²+b²c²，
即证2abcd≤a²d²+b²c²，
即证0≤（bc-ad）²，
而a，b，c，d∈（0，+∞），0≤（bc-ad）²显然成立，
故原不等式成立．

点评 本题考查了基本不等式的性质、分析法、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．