Question

15．在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC所在平面内$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+λ\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，则
（1）当λ=1时，$\frac{|PA{|}^{2}+|PB{|}^{2}}{|PC{|}^{2}}$=5；
（2）$\frac{|PA{|}^{2}+|PB{|}^{2}}{|PC{|}^{2}}$的最小值为1．

Answer 1

分析 （1）可分别以直线CA，CB为x，y轴，建立平面直角坐标系，并设A（a，0），B（0，b），P（x，y），从而可以求出$\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{PC}$的坐标，而根据$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+λ\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$便可解出x，y为：$x=\frac{a}{λ+2}，y=\frac{b}{λ+2}$，这样便得出$\overrightarrow{PA}=（a-\frac{a}{λ+2}，-\frac{b}{λ+2}）$，$\overrightarrow{PB}=（-\frac{a}{λ+2}，b-\frac{b}{λ+2}）$，$\overrightarrow{PC}=（-\frac{a}{λ+2}，-\frac{b}{λ+2}）$，从而可以求出$\frac{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}+|\overrightarrow{PB}{|}^{2}}{|\overrightarrow{PC}{|}^{2}}=（λ+1）^{2}+1$，从而λ=1
时，便可得出$\frac{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}+|\overrightarrow{PB}{|}^{2}}{|\overrightarrow{PC}{|}^{2}}$的值；
（2）由上面$\frac{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}+|\overrightarrow{PB}{|}^{2}}{|\overrightarrow{PC}{|}^{2}}=（λ+1）^{2}+1$，便可得到，当λ=-1时，$\frac{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}+|\overrightarrow{PB}{|}^{2}}{|\overrightarrow{PC}{|}^{2}}$取最小值．

解答 解：分别以边CA，CB为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设A（a，0），B（0，b），P（x，y），则：
$\overrightarrow{PA}=（a-x，-y），\overrightarrow{PB}=（-x，b-y）$，$\overrightarrow{PC}=（-x，-y）$；
∵$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+λ\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-x-x-λx=0}\\{-y+b-y-λy=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a}{λ+2}}\\{y=\frac{b}{λ+2}}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{PA}=（a-\frac{a}{λ+2}，-\frac{b}{λ+2}）$，$\overrightarrow{PB}=（-\frac{a}{λ+2}，b-\frac{b}{λ+2}）$，$\overrightarrow{PC}=（-\frac{a}{λ+2}，-\frac{b}{λ+2}）$；
∴$\frac{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}+|\overrightarrow{PB}{|}^{2}}{|\overrightarrow{PC}{|}^{2}}$=$\frac{（a-\frac{a}{λ+2}）^{2}+（-\frac{b}{λ+2}）^{2}+（-\frac{a}{λ+2}）^{2}+（b-\frac{b}{λ+2}）^{2}}{（-\frac{a}{λ+2}）^{2}+（-\frac{b}{λ+2}）^{2}}$=（λ+1）²+1；
∴（1）当λ=1时，$\frac{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}+|\overrightarrow{PB}{|}^{2}}{|\overrightarrow{PC}{|}^{2}}=5$；
（2）显然看出，λ=-1时，$\frac{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}+|\overrightarrow{PB}{|}^{2}}{|\overrightarrow{PC}{|}^{2}}$取最小值，最小值为1．
故答案为：5，1．

点评 考查通过建立平面直角坐标系，利用向量的坐标解决向量问题的方法，由点的坐标能求向量的坐标，根据向量的坐标能求向量长度，二次函数的最值问题．