Question

2．三角形△ABC的外接圆半径为1，圆心O，已知3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OC}$=$-\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 把已知的向量等式变形，两边平方后得到$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，把$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$代入$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OC}$后展开得答案．

解答 解：∵3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，∴5$\overrightarrow{OC}$=-（3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$），
∴$（5\overrightarrow{OC}）^{2}=（-3\overrightarrow{OA}-4\overrightarrow{OB}）^{2}$，即25=25+24$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，
则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OC}$=$（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）•\overrightarrow{OC}$=-$\frac{1}{5}$（3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$）
=$\frac{3}{5}|\overrightarrow{OA}{|}^{2}-\frac{4}{5}|\overrightarrow{OB}{|}^{2}=-\frac{1}{5}$．
故答案为：-$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，解答此题的关键是把已知的向量等式变形，是中档题．