Question

6．求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率、焦点坐标和顶点坐标，并画出图形：
（1）4x²+9y²=36；
（2）4x²+y²=1．

Answer 1

分析 （1）4x²+9y²=36化为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，可得：a²=9，b²=4，可得a，b，$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，焦点，焦距，顶点及其离心率；
（2）4x²+y²=1，化为${y}^{2}+\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}$=1．可得：a²=1，b²=$\frac{1}{4}$，可得a，b，$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，焦点，焦距，顶点及其离心率．

解答 解：（1）4x²+9y²=36化为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，可得：a²=9，b²=4，
∴a=3，b=2，$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$，可得焦点（±$\sqrt{5}$，0），焦距2c=2$\sqrt{5}$，2a=6，2b=4，顶点（±3，0），（0，±2），e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$；
（2）4x²+y²=1，化为${y}^{2}+\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}$=1．可得：a²=1，b²=$\frac{1}{4}$，
∴a=1，b=$\frac{1}{2}$，$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得焦点（0，±$\frac{\sqrt{3}}{2}$），焦距2c=$\sqrt{3}$，
2a=2，2b=1，顶点（0，±1），
（±$\frac{1}{2}$，0），e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．