Question

点A在单位正方形OPQR的边PQ，QR上运动，OA与RP的交点为B，则

OA

•

OB

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,函数的性质及应用,平面向量及应用

分析：以O为坐标原点，OP，OR为x，y轴，建立直角坐标系，设出P，R，A的坐标，求出直线PR，OP的方程，解得交点B，再由数量积的坐标表示得到函数式，化简得到对勾函数，再由函数的单调性即可得到最大值．

解答： 解：以O为坐标原点，OP，OR为x，y轴，建立直角坐标系，
设P（1，0），R（0，1），则直线PR的方程为x+y-1=0，
当A在PQ上，设A（1，t），（0≤t≤1），
则直线OA的方程为y=tx，
求得交点B（

1

1+t

，

t

1+t

），
则可令y=

OA

•

OB

=

1

1+t

+

t2

1+t

=

1+t2

1+t

=（1+t）+

2

1+t

-2，
由于1≤1+t≤2，则有y≥2

2

-2，当且仅当1+t=

2

，取得最小值2

2

-2，
当1+t=1或2，即t=0或1时，y取得最大值，且为1．
同样，当A在QR上时，运用类似的方法，可得当A在Q或R时，取得最大值1．
故答案为：1．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示，考查对勾函数的最值，考查运算能力，属于中档题．