Question

4．双曲线$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）交于点M、N，则|MN|等于$\sqrt{2（{a}^{2}+{b}^{2}）}$．

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，将渐近线方程与椭圆的方程联立，求出两个交点的坐标；利用两点的距离公式求出|MN|．

解答 解：不妨取双曲线的渐近线的方程为y=$\frac{b}{a}$x，
与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1联立消去y得2x²=a²
解得x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$a代入渐近线方程得M，N两点的坐标分别为：（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，$\frac{\sqrt{2}}{2}$b），（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$b），
所以|MN|=$\sqrt{（\sqrt{2}a）^{2}+（\sqrt{2}b）^{2}}$=$\sqrt{2（{a}^{2}+{b}^{2}）}$．
故答案为：$\sqrt{2（{a}^{2}+{b}^{2}）}$．

点评 本题考查双曲线的渐近线方程与双曲线的焦点位置有关、考查解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，常将直线方程与圆锥曲线方程联立．