Question

若函数f（x）=x³-3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-2，2）
• B、[-2，2]
• C、（-∞，-1）
• D、（1，+∞）

Answer 1

分析：由函数f（x）=x³-3x+a求导，求出函数的单调区间和极值，从而知道函数图象的变化趋势，要使函数f（x）=x³-3x+a有3个不同的零点，寻求实数a满足的条件，从而求得实数a的取值范围．

解答：解∵f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
当当x＜-1时，f′（x）＞0；
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0；
当x＞1时，f′（x）＞0，
∴当x=-1时f（x）有极大值．
当x=1时，
f（x）有极小值，要使f（x）有3个不同的零点．
只需

f(-1)＞0 f(1)＜0

，解得-2＜a＜2．
故选A．

点评：考查利用导数研究函数的单调性和极值，函数图象的变化趋势，体现了数形结合和运动的思想方法，属中档题．